Z変換について再度復習

少し前に書いたメモ。
個人的な復習としてまとめたもので、このあたりの話には詳しくないため、間違いがあったら申し訳ない。

昔習ったが、当時でも理解できていなかったので、ここで復習してみようと思う。

離散時間システムとは?

信号処理を行う装置や回路のことを信号処理システムという。
信号処理システムは、処理する信号の時間成分が連続的か離散的かによって、連続時間システム、離散時間システムとよばれる。

連続時間システムの解析にはラプラス変換が使われ、
離散時間システム(デジタルシステム)の解析にはZ変換が用いられる。

以下、ラプラス変換とZ変換について説明する。

フーリエ変換

一応説明する。
入力信号を様々な周波数の正弦波と直流成分に分けることをフーリエ変換という。
連続時間信号の周波数解析に用いられる(ちなみに離散時間信号の周波数解析には離散フーリエ変換が用いられる)。
フーリエ級数というものがもともとあって、それを拡張したのがフーリエ変換のようだ。

$F(\omega) = \mathcal{F}[f(t)] = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-j \omega t}dt \tag{1}$

ちなみに逆フーリエ変換は以下の式で定義される。

$f(t) = \mathcal{F^{-1}}[F(\omega)] = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega)e^{j \omega t}d\omega \tag{1'}$

(1)式を見ると、フーリエ変換の際、負の無限大から正の無限大まで積分している。つまり過去から未来まで永遠に続く信号を想定している。
しかし、普通そんな信号はない。多くの信号はある時刻に生じ、それより前はずっと値が0のはずだ(例えばある時刻に回路のスイッチをONにしたとすると、それ以前に回路が動作しているはずはないだろう[1])。
というわけで、そういう普通の信号(時刻t=0までは値が0である信号...「因果的な信号」という)もフーリエ変換できるように、積分範囲をt>0に狭めてやったのがラプラス変換のようだ[2][3]。
ラプラス変換、逆変換は次の式で与えられる。

$X(s) = \mathcal{L}\{ x(t) \} = \int_{0}^{\infty} x(t)e^{-st}dt \tag{2}$

$x(t) = \frac{1}{2\pi j} \int_{a-j\infty}^{a+j\infty} X(s)e^{st}ds \tag{2'}$

連続時間システムの安定性

ラプラス変換は因果的な信号を用いると書いた。
つまり連続時間システム(連続時間信号を入力として受けとり、信号処理を行う装置)の解析に使われるということである。

どういうことか?
信号処理を行う装置に信号を入れたら、出力信号がどんどん大きくなって、しまいには発散してしまった、という事態はまずい。これはシステムが入力信号に過剰反応しているために起こる。
システムが暴走しない、つまりシステムの応答が安定であるかどうかを調べるために、ラプラス変換が使われる。うまく説明できないので省略するが、[4]が参考になると思う。