日記

日本語の勉強のためのブログ

トップ > 数学や物理 > 半波長ダイポールアンテナの放射電界を求める際の積分について

半波長ダイポールアンテナの放射電界を求める際の積分について

数学や物理

やりたいこと

\begin{aligned} E_{\theta} &= \frac{jk \eta}{4\pi r} \sin{\theta} \int_{-\lambda / 4}^{\lambda / 4} I(z)e^{-jk(r - z \cos{\theta})} dz \\ &= \frac{jk \eta I_0}{4\pi} \frac{e^{-jkr}}{r} \sin{\theta} \int_{-\lambda / 4}^{\lambda / 4} \cos{(kz)} e^{(-jkz \cos{\theta})} dz \end{aligned}

を解きたい。
軽く調べても結果のみが書かれているページしか見つからなかったため、できる限り丁寧に式変形しながら解いていく。

解法

まずはオイラーの公式を用いて式をまとめてから、積分する。

\begin{aligned} E_{\theta} &= \frac{jk \eta I_0}{4\pi} \frac{e^{-jkr}}{r} \sin{\theta} \int_{-\lambda / 4}^{\lambda / 4} \cos{(kz)} e^{(-jkz \cos{\theta})} dz \\ &= \frac{jk \eta I_0}{4\pi} \frac{e^{-jkr}}{r} \sin{\theta} \int_{-\lambda / 4}^{\lambda / 4} \frac{e^{jkz} + e^{-jkz}}{2} e^{(-jkz \cos{\theta})} dz \\ &= \frac{jk \eta I_0}{8\pi} \frac{e^{-jkr}}{r} \sin{\theta} \int_{-\lambda / 4}^{\lambda / 4} (e^{jkz(1+\cos{\theta})} + e^{-jkz(1-\cos{\theta})}) dz \\ &= \frac{jk \eta I_0}{8\pi} \frac{e^{-jkr}}{r} \sin{\theta} \frac{1}{jk} \left[ \frac{1}{1 + \cos{\theta}}e^{jkz(1+\cos{\theta})} + \frac{1}{1 - \cos{\theta}}e^{-jkz(1-\cos{\theta})} \ \right]_{- \lambda / 4}^{\lambda / 4} \\ &= \frac{\eta I_0}{8\pi} \frac{e^{-jkr}}{r} \sin{\theta} \left[ \frac{1 - \cos{\theta}}{1 - \cos^2{\theta}}e^{jkz(1+\cos{\theta})} + \frac{1 + \cos{\theta}}{1 - \cos^2{\theta}}e^{-jkz(1-\cos{\theta})} \ \right]_{- \lambda / 4}^{\lambda / 4} \\ &= \frac{\eta I_0}{8\pi} \frac{e^{-jkr}}{r} \sin{\theta} \frac{1}{\sin^2{\theta}} \left[ (1 - \cos{\theta}) e^{jkz(1+\cos{\theta})} + (1 + \cos{\theta})e^{-jkz(1-\cos{\theta})} \right]_{- \lambda / 4}^{\lambda / 4} \\ &= \frac{\eta I_0}{8\pi} \frac{e^{-jkr}}{r} \frac{1}{\sin{\theta}} \left[ e^{jkz \cos{\theta}} \left\{ (1 - \cos{\theta})e^{jkz} + (1 + \cos{\theta})e^{-jkz} \right\} \right]_{- \lambda / 4}^{\lambda / 4} \\ &= \frac{\eta I_0}{8\pi} \frac{e^{-jkr}}{r} \frac{1}{\sin{\theta}} \left[ e^{jkz \cos{\theta}} \left\{ (e^{jkz} - e^{-jkz}) - (e^{jkz} + e^{-jkz}) \cos{\theta} \right\} \right]_{- \lambda / 4}^{\lambda / 4} \\ &= \frac{\eta I_0}{8\pi} \frac{e^{-jkr}}{r} \frac{1}{\sin{\theta}} \left[ e^{jkz \cos{\theta}} \times 2 (j \sin{kz} - \cos{\theta} \cos{\cos{kz}}) \right]_{- \lambda / 4}^{\lambda / 4} \\ &= \frac{\eta I_0}{4\pi} \frac{e^{-jkr}}{r} \frac{1}{\sin{\theta}} \left\{ e^{j \frac{k \lambda}{4} \cos{\theta}} (j \sin{\frac{k \lambda}{4}} - \cos{\theta} \cos{\frac{k \lambda}{4}}) - e^{- j \frac{k \lambda}{4} \cos{\theta}} (j \sin{(- \frac{k \lambda}{4})} - \cos{\theta} \cos{(- \frac{k \lambda}{4})}) \right\} \\ &= \frac{\eta I_0}{4\pi} \frac{e^{-jkr}}{r} \frac{1}{\sin{\theta}} \left\{ e^{j \frac{k \lambda}{4} \cos{\theta}} (j \sin{\frac{k \lambda}{4}} - \cos{\theta} \cos{\frac{k \lambda}{4}}) - e^{- j \frac{k \lambda}{4} \cos{\theta}} (- j \sin{\frac{k \lambda}{4}} - \cos{\theta} \cos{\frac{k \lambda}{4}}) \right\} \end{aligned}


ここでk = \sqrt{\epsilon \mu} \omegaより、

\begin{aligned} k \lambda &= \sqrt{\epsilon \mu} \omega \lambda \\ &= \sqrt{\epsilon \mu} 2 \pi f \lambda \\ &= \sqrt{\epsilon \mu} 2 \pi v \\ &= \sqrt{\epsilon \mu} 2 \pi \frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu}} \\ &= 2 \pi \end{aligned}


ゆえに\frac{k \lambda}{4} = \pi / 2であるから、

\begin{aligned} E_{\theta} &= \frac{\eta I_0}{4\pi} \frac{e^{-jkr}}{r} \frac{1}{\sin{\theta}} \left\{ e^{j \frac{\pi}{2} \cos{\theta}} (j \sin{\frac{\pi}{2}} - \cos{\theta} \cos{\frac{\pi}{2}}) - e^{- j \frac{\pi}{2} \cos{\theta}} (- j \sin{\frac{\pi}{2}} - \cos{\theta} \cos{\frac{\pi}{2}}) \right\} \\ &= \frac{\eta I_0}{4\pi} \frac{e^{-jkr}}{r} \frac{1}{\sin{\theta}} j \left( e^{j \frac{\pi}{2} \cos{\theta}} + e^{- j \frac{\pi}{2} \cos{\theta}} \right) \\ &= \frac{j \eta I_0}{2\pi} \frac{e^{-jkr}}{r} \frac{\cos{ (\frac{\pi}{2} \cos{\theta}}) }{\sin{\theta}} \end{aligned}


こうして半波長ダイポールアンテナの放射電界E_{\theta}を求めることができた。

(補足)はてなブログで数式を埋め込む方法

以下の記事を参考にした。

7shi.hateblo.jp

とりあえず下のように書けば問題ないようだ。

<div align="center">
[tex:
\begin{aligned}
ここに数式を書いていく
\end{aligned}
]
</div>

(補足)数式が長すぎて表示しきれないときの対処法

数式が書かれている部分をスクロールできるようにすればよい。以下の記事を参考にして設定した。

www.randpy.tokyo

(補足)基本的なTeX記法

忘れていたものについて記しておく。

  1. frac{分子}{分母} で分数が書ける。
  2. 積分は\intで書く。積分範囲を指定する場合は普通の数式と同様に ^ や _ を用いる。
  3. 括弧の大きさを自動調整するには括弧の前にleftやrightを記述する。